数学概念是数学思维的“细胞”, 也是学生学习数学知识的基石。众所周知, 数学概念的抽象性较强, 而高年级的小学生正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡和发展的阶段, 所以概念教学中知识的抽象性与学生的认知特点这一对矛盾也显得尤为突出。小学阶段习得的数学概念, 大多数都是在人们长期的生产实践活动中抽象、概括出来的, 因此, 可基于学生的认知特点, 结合概念的现实性, 引导学生从现实出发, 从数学的角度建构数学概念;也可着眼于数学概念, 反过来从生活中得到启发, 认同、发展概念并建构起相关的概念系统。那么, 如何实现基于学生的认知特点进行数学概念的建构呢?下面以北师大版六年级上册“比的认识”一课为例谈谈概念教学的一些思考。

　　一、把握教材, 实现学生认知取向与概念本质的对接

　　概念的要素最为重要的一点是应该让学生认同概念产生的价值, 进而引发其对本质特征的关注。例如, 在教学“比的认识”时, 让学生认同比的概念并非告诉他们这样一句话“两数相除又叫做两数的比”, 也不是从教材的主情境中 (如图1) 让学生发现“图A与图D的长和宽倍数关系一定, 所以像这样的关系我们也可以用比的形式来表示”, 这仅仅是告知, 也会导致学生认识比的“前动力不足”, 只是在模仿中把除法“改头换面”成比, 不能对比的内涵有认同感。

　　图1

　　那么教材情境的主要目的是什么呢?《教师教学参考书》是这样描述的:“为了让学生进一步发现长方形的形状可以用它的长和宽两个特征量来表示, 进而发现生活中有许多事物的属性像形状那样是不可以度量的, 但却可以通过两个可以度量的对等的量进行比较。”也就是说, 比是因为两个量之间的比较而产生, 它是在描述一种关系。为此, 基于教材情境的目的, 根据学生的认知取向特点, 教师在教学中进行了补充式导入。

　　【教学片断1】

　　师:生活中, 有些问题通过一个量就可以直接进行说明。比如, 我们想知道一根绳子有多长, 用直尺直接测量;再比如, 要知道一个苹果有多重, 我们可以怎么做?对, 用秤直接称, 像这些情况无需借助其他量来进行比较得出结果。

　　师:但生活中还有些这样的问题, 比如我们想知  道两张照片像不像? (课件出示两张图) 这时, 我们还能不需要进行比较就直接说明吗?

　　教师这样的“脚手架”式导入看似简单, 实则是对比的概念本质深入剖析后而精心设计的引导, 让学生把对比的关注落实到两个量, 以及它可以对两个量之间关系的描述、比较的优势上, 真正认可比的价值, 认识到学习比的必要。

　　二、把握关联, 顺应学生的认知特点教学概念

　　小学阶段学生的心理正处于由具体到抽象的发展过程中, 因而在认识过程中仅靠教师单纯的讲授来学习、理解抽象的数学概念显然是不够的, 所以教师应当引导学生以具体直观材料为对象, 在动手操作或思维操作的活动中丰富感知, 形成稳定的表象支撑, 由物化到内化、由具体到抽象, 循序渐进地建立概念。

　　1. 利用实例改造已有经验。

　　奥苏伯尔指出:“影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么, 我们应当根据学生原有的知识状况去教学。”《数学课程标准 (2011年版) 》指出:“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础。”由此可见, 数学教学活动必须把握好学生的学习起点, 在学生原有认知水平的基础上组织及展开教学活动, 不断地发展、改造、完善学生的已有经验。

　　【教学片断2】

　　师:比在生活中很常用, 同学们都接触过哪些比?

　　生:球赛的比分、数比大少、物体比轻重……

　　师:是的, 同学们举的这些我们认识过的“比”是生活中很常见的, 但这些“比”跟我们今天要研究的比会是一样的吗?我们一起来看一看。 (板书课题:比的认识)

　　【教学片断3】

　　师:刚上课时, 同学们谈到比多少、比轻重、比大小。现在请大家再想一想, 这些我们以前认识的“比”和我们今天所学习的比一样吗?比如, 比赛中的比分会出现1∶0, 我们今天认识的“比”可以是1∶0吗?

　　师:比赛中所谈到的比分是体现两个队的比分差别, 是一种两个数量相差的关系, 而今天我们要研究的比是体现两个数量之间的一种倍比关系, 是两个数相除的关系, 所以它们是不同的。

　　概念教学往往需要通过正例和反例来提升学生认识概念的清晰度。比赛中的比分是一种差比关系, 而本节课所学的比是一种倍比关系, 这两者恰恰是学生容易混淆的地方。在课始学生举出上述实例, 是他们基于自身的生活现实找到的, 来自学生的已有经验。教师把它作为反例, 放在建立比的概念之后来辨识, 这样的教学是一种顺应学生认知的处理, 既发展了学生的已有经验, 又促进学生对“比”的进一步深刻理解。在更大范围内检测和修正概念的定义过程, 这也是概念建立过程中不可或缺的环节, 教师应加以重视。

　　2. 借助操作认识新概念。

　　认知心理学家认为, 活动是认知的基础, 智慧是从动作开始的。对于动作形象思维占优势的小学生来说, 眼见为虚, 让他们最深刻的体验莫过于自己双手实践过的东西。因此, 教学中要借助直观的操作让学生体会和了解新知识、认识新概念。

　　【教学片断4】

　　师:美术小组的四位同学每人分别为淘气画了一张画像, (课件出示其余四张画像图片) 大家发现了什么?与同伴说一说吧!

　　生1:我发现这些图片有的大、有的小。

　　生2:我发现这些图片有的比较像图片A、有的不是很像。

　　师:如果以图片A为标准, 这四张图片中哪几张与图片A比较像呢?

　　生:我发现图片B、图片D和图片A比较像, 而图片C、图片E不像图片A。

　　师:为什么图片B、图片D和图片A比较像?谁来说一说?

　　生1:图片B是把图片A缩小了, 而图片D是把图片A放大了。

　　生2:这些图片都是长方形, 长和宽可能同时按照一定的倍数扩大或缩小了。

　　师:刚才我们是通过观察直接判断出这些图形的像与不像, 现在请你数一数、算一算、议一议上面这些长方形的长和宽之间有什么关系。

　　学生完成填表, 寻找规律, 汇报交流。

　　让学生通过对一组长方形的观察、计算、思考探究长方形的长和宽之间存在的固定倍数关系, 这样的数形结合使学生获得比的一些体验, 同时, 借助图形分类让学生在体会引入比的必要性中为抽象比的意义作好丰富的感性积累。

　　3. 呈现材料完善新概念。

　　在概念的建构过程中, 应处理好直观与抽象的关系, 生活化、情境化与知识抽象化的关系以及过程与结果的关系。因此, 在教学中要善于创设情境, 用有价值的材料进行数学概念的教学, 从而完善学生的概念认知。如在教学设计中, 除采用“照片像不像问题中产生的比”、“甘蔗汁和水的比”以及“树高和影长的比”等这些同类量比的素材 (如下图) , 注重比产生的“源”, 同时也不能忽视像路程、时间这样不同类量的比, 应在概念初具雏形后, 适时呈现这些“不同类量的比”的材料以完善比的内涵, 帮助学生建构起完整的比的认识。因此, 在建立概念时, 材料的选择及先后呈现顺序应该以服务概念核心本质为主, 并尽可能地去选择丰富、有代表性的材料帮助学生完善概念内涵。

　　  三、拓展提升, 实现概念系统的整体建构  

　　数学教学论认为, 概念同化的心理过程应经历以下几个阶段: (1) 辨认。定义中的新观念哪些是已有观念?新旧观念之间存在什么关系? (2) 同化。建立新概念与原有概念之间的联系, 把新概念纳入原有认知结构, 使新概念赋予新的意义。 (3) 强化。通过将新概念与某些相关的概念进行比较, 使新概念更加稳固清晰。为此, 在学生建构新概念后, 教师应把新的知识和学生原有的认知结构联结起来, 让新旧知识发生作用, 在同化和顺应的学习活动中加强新旧概念的联系沟通, 这样既能进一步促成学生对新知的深刻理解, 又能通过比较新旧概念的差异, 理清它们之间的联系和区别, 形成网状的知识脉络, 实现概念系统的整体建构, 促使学生的认知得到进一步发展。

　　【教学片断5】

　　课件出示:

　　甘蔗汁60 ml加水20 ml时口味最佳, 要使口味保持不变, 甘蔗汁和水的份量可以怎样变化?

　　师:请同学们用已学的知识从不同角度表述两者之间的关系。

　　学生交流并展示方案。

　　生1:可以是甘蔗汁120 ml搭配40 ml的水。

　　生2:甘蔗汁的份量必须是水的3倍。

　　生3:甘蔗汁的份量占总数的3/4。

　　生4:它们之间的关系是3∶1。

　　……

　　本环节, 教师引导学生感悟两种配料之间必须保持对应的关系——倍数关系, 即可在数量变化上调制口味相同的饮料, 这样的教学在凸显比的意义、渗透函数思想的同时, 还把当下的数学经验与学生已有的知识经验串并起来, 帮助学生理清概念之间的联系。

　　【教学片断6】

　　课件出示:

　　淘气和同学们玩吹泡泡的游戏, 制作泡泡水要用甘油、水、洗洁液按照一定比例混合而成。这三样东西怎样搭配才能配出好的泡泡水呢?

　　师:你们还能像刚才那样说说它们之间的关系吗?

　　生1:水的质量是甘油的4倍, 水的质量是洗洁液的2倍。

　　生2:甘油的质量是水的1/4, 洗洁液的质量是水的1/2, 。

　　生3:还可以看出水的质量是泡泡水的。

　　……

　　师:一个小小的比竟然隐藏了这么多的关系, 这是我们以前学过的分数和除法都不能做到的。

　　师:在大家刚才发现的这些关系中, 有的是用分数表示出来的, 有的是用除法的运算发现的, 看来它们三者之间密不可分。接下来我们就一起来认识比各部分与除法、分数之间的联系。

　　……

　　本环节, 教师借助制作泡泡水这个现实情境, 让学生体会到除法和分数都不能一下子将三种物品之间的倍数关系表示出来, 而比则可以。多个数量之间组成的连比, 不仅使两两数量之间的倍数关系很明确, 几个数量之间的倍数关系也一目了然, 一个小小的比威力真大, 这就是比相对于除法与分数的优势所在。此外, 我们必须帮助学生厘清比与除法及分数的联系和区别:一是三者的意义及形式的不同, 除法是一种运算, 分数是一种数, 而比是比较量与量之间的关系的一种表达形式;二是出发点不同却又殊途同归, 以后学习求比值时又要用到除法, 还有比值也可写成分数的形式, 这三者之间有时是可以相互转化的, 并不是相互割裂的。

　　综上所述, 遵循学生的认知特点, 将抽象的概念置身于现实背景中去理解, 发展学生已有的数学经验, 理清它们之间的联系和区别, 建构完整的概念系统, 不断优化学生的认知结构, 这是把握概念教学重要的原则和策略, 也是“比的认识”这节课带给我们的启示。

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