摘要：借鉴PISA2012数学素养测评理念、测评技术、命题框架， 研制四年级学生数学素养测评框架， 编制测试题， 并对31377名四年级学生进行施测。研究发现：知识方面， 学生在不确定性与数据、几何与图形领域掌握较好， 在变化与关系、数量这两个领域素养比较欠缺；过程方面， 学生的数学表述能力和阐释能力较好， 数学运用能力较弱；学生在情境领域发展比较平衡；不同水平学生所擅长的知识和能力不同。
　　
　　关键词：PISA测试； 数学素养； 素养测评；
　　
　　一、研究缘起
　　
　　培养学生核心素养是当前基础教育深化改革的主要方向， 核心素养监测是了解现状和检验教育改革落地效果的途径， PISA可以为改进我国考试评价政策和建立中国特色的教育质量监测体系提供切入点和着力点1.就数学学科而言， PISA数学素养测评得到越来越多学者的认可， 并对PISA2012数学测试进行研究为中考数学测评提出建议：过程维度上构建及不同维度的试题分布需要进一步重视和完善， 同时关注内容领域和过程领域之间内在的联系2;此外也有学者探索PISA教育测评技术在高考中的应用3.
　　
　　在PISA测试模型的基础上， 本研究根据小学数学的实际情况， 对小学生进行相应的测试。目前已有学者基于PISA2012视角建构小学数学核心素养4.我们选择四年级学生为测试对象， 主要基于以下考虑：一是， 从皮亚杰的认知发展理论来看， 四年级学生正处在具体运算阶段， 其主要特征是主动且恰当地使用逻辑， 能够把逻辑运算应用于具体问题之中5p345;二是， 四年级学生已经学习了第一学段的数学内容， 是第二学段的起始年级， 四学生的数学素养如何？教学需要做出哪些改进？我们有必要做更多研究， 及时发现问题、解决问题。
　　
　　二、研究过程
　　
　　（一） 试题研制
　　
　　1. 测评框架。
　　
　　本研究借鉴PISA2012数学素养测评框架。2012年的国际PISA测试的主测领域是数学， 对数学素养测评研究已得到广泛认可， 测试主要是评价学生在个人、工作和社会生活中， 运用已学知识和已具备的技能、态度去解决问题的能力。6测试包括数学过程 （表述、运用、阐释） 、数学情境 （个人的、社会的、职业的、科学的） 、数学内容 （变化与关系、空间与图形、数量、不确定性与数据） 三个维度。7其中在数学内容方面， 四年级学生与15岁学生 （PISA测试对象） 所学到的数学内容不一样， 为了保证测试内容与四年级学生已学习知识具有较高一致性， 将PISA2012数学四大内容领域进行微调， 主要是删掉四年级学生未曾学到的数学内容。
　　
　　2. 命题。
　　
　　试题研制借鉴PISA2012数学素养测评理念、测评技术、命题特点， 结合我国小学数学课程设计， 秉承规范性、本土化和适宜性原则。 （1） 规范性：借鉴PISA理念、命题框架， 研制四年级学生数学素养测评框架； （2） 本土化：在命题的各个环节中， 如在数学情境的选择， 考虑被测学生生活城市 （下称H区） 的生活情景； （3） 适宜性：在数学内容、数学过程、题目数量、用词等方面， 考虑四年级学生的认知水平。最后由5位小学数学特级教师， 编制32道测试题， 试题分布如表1.
　　
　　3. 答案编码。
　　
　　此次测试评分， 借鉴PISA数学测试双位编码评分技术， 双位编码评分技术可以反映出学生在解题过程中应用的策略、或错误作答的类型。8出题时预测学生可能出现的作答类型， 并通过预测收集学生答案， 最大限度地收集学生的解题思维过程和方法， 对学生答案类型进行编码， 对于只有满分和零分两种答题情况的题目进行二级计分；有零分、部分得分、满分三种答题情况的题目则进行三级计分。
 

　　
　　（二） 预测与正式测试
　　
　　1. 预测。
　　
　　为保证试题质量， 在正式测试前进行了3次预测， 并针对每次预测的结果进行修改。第一次预测， 对象：A小学50名四年级学生， 目的：检测难度、区分度、题量、表述等方面存在的问题， 观察是否有其他影响测试的不良因素， 如考场纪律不好、学校不重视等。第二次预测， 对象：B小学50名四年级学生， 目的：规范测试流程， 检测难度、区分度是否合适， 再次修改试题表述。第三次预测， 对象：在正式测试的H区选3所小学， 每所各40名， 共120名四年级学生；目的：针对H区预测得出的难度值、区分度再次对题目进行筛选；根据学生答案类型， 再次修改答案编码。
　　
　　2. 正式测试。
　　
　　本次测试由H区教育局统一组织， 每个教室安排30个学生， 两位监考老师， 测试时间为75分钟。样本选取该区150所学校， 共31377名四年级学生参加测试， 样本覆盖率达98.97%.共收回31377份试卷， 其中有效试卷31075份， 有效率达99.04%.
　　
　　（三） 阅卷及水平划分
　　
　　1. 阅卷。
　　
　　此次阅卷由该区教育质量监测中心组织170名小学数学教师进行网上阅卷， 阅卷老师的工作是根据学生的答案赋予对应的编码。
　　
　　2. 水平划分。
　　
　　依照PISA2012数学测评对学生数学能力进行等级划分方式， 将这次测试成绩分为1级以下和1-6级。1-6级测试分数分别对应的六个数学素养水平， 2级水平被看作基准水平， 2级及以下水平称为低水平段；5级和6级水平称为高水平段， 学生的水平越高， 表明学生能解决的数学问题越复杂。借鉴PI-SA2012数学素养能力水平划分， 并结合本次测试对象的学习特点， 将各级水平学生能完成的任务确定如下：1级水平学生能回答熟悉情境中， 包含所有相关信息的问题；能够在明确的情境中根据直接指示找到信息并按照常规程序行动。2级水平学生能从简单情境中提取相关信息， 会运用基本公式、算法， 能初步根据实际情境对结果进行反思。3级水平学生能执行表述清晰的行动步骤， 能够理解和使用基于不同信息来源的表征， 并能对其进行直接推理；能够进行简短的交流， 报告他们的解释、结果和推理。4级水平学生在包含限定条件或要求进行假设的复杂情境下有效运用明确的模型， 能选择和整合不同的表征， 将其与实际情况相联系；能基于自己的理解、论证和做法， 能形成并交流自己的解释和观点。5级水平学生能识别限定条件并列出假设， 建立对应模型；能够选择、比较和评估问题解决策略；能反思自己的做法， 能形成并交流自己的理解和推理。6级水平学生能够在复杂的情境中获取有效信息， 并且能够对各种信息进行综合应用；能够对自己的数学思维和推理进行反思， 对自己的解决方法做出阐释。
　　
　　三、测试结果与分析
　　
　　按照以上方式将学生数学素养水平进行划分， 各级水平学生占比如表2所示。本次测评注重考察学生在社会情境中应用不同数学内容的能力， 从数学内容领域、数学过程领域、数学情境领域这三个方面对学生的数学素养进行分析。总体而言， 同一水平的学生在各个情境中的数学素养相对比较平衡， 但是同一水平的学生在数学内容和数学过程不同分量表上存在着不少的差异。下文就测评中学生在数学内容、数学过程和数学情境的表现进行详细说明。
　　
　　（一） 数学内容
　　
　　1. 同一水平学生在不同数学内容领域素养存在差异。
　　
　　考虑到四年级四个内容领域的知识量和难度不一样， 所以编制各内容领域的题量和总分也不同， 因此先将各内容领域总分都转化成100分， 再进行统计与分析 （下同） .表2为各级水平学生在不同数学内容领域得分。
 

　　由表2可看出， 1级以下水平的学生在不确定与数据内容上得分最高， 而且与其他三个内容领域得分差异显着；在变化与关系内容上得分最低， 数量次之， 这两者的差异不显着。1、2、3、4级水平学生在不确定与数据内容领域得分最高， 几何与图形次之， 第三是数量， 最后是变化与关系， 并存在显着差异。5级水平学生在不确定与数据内容领域上得分最高；变化与关系得分最低， 但与数量得分不存在显着差异。6级水平学生在不确定与数据领域得分最高， 其他三个内容领域得分相差不大。变化与关系、数量领域得分始终比较低， 但是高水平段学生相对于全体学生而言， 在这两个内容领域上有比较明显的优势， 5水平学生在数量内容领域上超过平均分10.4分， 在变化与关系超过12.59分；6水平学生在数量上超过平均得分25.64分， 变化与关系超过29.15分。
　　
　　总体而言， 变化与关系得分为38.44分， 数量得分为40.70分， 几何与图形得分为45.76分， 不确定性与数据得分为55.13分， 说明四年级学生在变化与关系、数量这两个内容领域上的素养较低， 特别是在变化与关系内容领域上表现最不理想， 即在数学概念、数学关系等方面的数学学习上有待加强。在几何与图形、不确定性与数据上的知识掌握比较好， 说明学生在与现实生活联系比较密切、比较直观的数学内容上掌握得更好。
　　
　　对于不同水平学生而言， 4级及以下水平学生在不确定性与数据、几何与图形这两个内容领域上掌握得较好， 在变化与关系、数量领域上相对差一些， 说明中低水平段的学生更善于解决不确定性与数据、几何与图形方面的实际问题， 这可能与该数学内容更贴近生活， 更具体有关；变化与关系相对抽象， 理解其内容需要更严密的数学思维， 低水平学生比较缺乏此类数学思维。高水平学生则在数学关系、数学思维上有很大的优势。
　　
　　2. 学生在不同数学内容领域发展趋势不同。
　　
　　通过比较每两个相邻水平之间的分数提升情况， 发现虽然内容领域的得分都表现出随着学生水平的升高而提升的现象， 但是不同的内容领域在不同的水平间提升的分数并不一样， 具体表现如图1所示。图1反映的是高一级水平学生与低一级水平学生在内容领域得分差异情况， 如第1组表示1级水平与1级以下水平学生在不同内容领域的得分差。

　　

　　
　　由图1可看出， 随着学生水平的提高， 变化与关系得分提升越快， 说明水平越高的学生在变化与关系这个内容领域上进步越快。几何与图形在低水平段和第5到第6水平段得分增加较快， 说明在该内容领域上低水平段和第5到第6水平段的学生进步更明显。数量在5级及以下水平学生中进步比较平缓。不确定性与数据得分在4级以下水平增加较大， 说明水平越低的学生在不确定性与数据方面的学习进步越明显。
　　
　　教学提倡因材施教， 对于2级水平以下的学生可以更加注重不确定性与数据、几何与图形方面的教学， 学生很有可能进步更加明显。2级水平学生可能在不确定与数据， 变化与关系上进步明显。3级， 4级和5级水平的学生在数量、变化与关系内容领域上有可能进步较快。5级和6级学生应该更加注重数量、变化与关系的内容领域的学习， 以便在数学思维上有所突破。
　　
　　（二） 数学过程
　　
　　1. 同水平学生的数学过程领域素养存在显着差异。
　　
　　从表3可看出， 1级以下， 1级、2级的学生在阐释方面得分最高， 表述次之， 运用最低， 并具有显着差异。3级水平学生阐释和表述得分没有显着差异， 运用得分最低。4级水平学生在数学表述上表现最好， 阐释次之， 最后是运用。5级水平学生在表述上表现最好， 阐释次之， 运用最后。6级水平学生数学在表述过程得分最高， 数学运用次之， 得分最低的是阐释。
 

　　
　　对全样本而言， 学生的表述能力最好， 阐释能力次之， 运用能力最弱。对于不同的数学水平学生而言， 低水平段学生阐释能力最好， 表述次之， 说明在这三种能力中， 低水平段的学生最擅长结合实际解释数学结果， 运用数学知识解决实际问题的能力较弱；3级水平的学生在阐释和表述方面的能力都差不多；4级水平学生表述能力最好， 阐释次之， 说明该水平学生将实际问题转化成数学问题的能力最好；5级、6级水平段的学生表述能力最好， 并且在运用能力方面有很大的优势， 特别是6级水平学生在运用过程的得分超过平均分28.94分。
　　
　　2. 学生在不同数学过程领域发展趋势不同。
　　
　　由图2可看出， 1级水平学生在阐释方面进步最快， 表述次之， 运用领域进步较慢；2级水平学生在表述领域进步最大， 阐释次之， 最小的是运用， 但是三者相差并不大；3级水平在表述方面进步最大， 运用次之， 阐释最小；4级水平学生在表述和运用方面的进步基本一样， 大于阐释；5级水平学生进步最大的是运用， 接着是表述， 最后是阐释；6级水平学生在运用领域进步最大， 而且远超过其他两个领域， 该水平段学生在运用和阐释的进步几乎一样。总体而言， 低水平段学生在阐释方面进步比较明显， 中等水平学生在表述方面进步比较明显， 高水平段学生在运用方面进步比较明显。

　　

　　
　　（三） 数学情境
　　
　　数学素养关注的是学生在具体情境中解决问题的能力。学生可能选择何种数学策略或表达方式通常有赖于该问题所在的情境。试题中的情境是学生生活常见的场景， 将测评题目划分到不同的情境， 了解学生在不同情境中用数学解决现实问题的能力。同上， 将各情境领域的总分转化成100分， 各级水平学生在数学情境领域得分如表4所示。
　　
　　由表4可知1级以下、1级、2级水平学生在各个情境中的得分相差不大；3级和4级水平学生在社会和个人情境中得分比科学和职业情境得分稍微高一些；5级水平学生在社会情境中得分最高， 其他3个情境的得分相差不大；6级水平学生在社会情境中得分最高， 科学次之， 个人和职业情境得分率相对低一些。总体而言， 社会的情境表现稍微优于其他情境， 其他情境差别不大， 说明学生更加熟悉社会问题， 在理解社会问题， 将社会问题数学化时更加顺利；解决其他三个情境的数学问题能力区别不大， 这说明学生的见识比较广， 各情境都有所熟悉。
 

　　
　　四、结论
　　
　　（一） 四年级学生对不确定性与数据、几何与图形的知识掌握得较好
　　
　　1978年教育部制定《全日制十年制学校小学数学教学大纲 （试行草案） 》， 改称小学算术为数学， 增加代数、几何初步知识。几何与图形、不确定性与数据自此进入小学课堂， 目前已取得可喜的成绩， 四年级学生在不确定性与数据、几何与图形表现优异， 低水平段的学生也掌握了一定的不确定性与数据的知识。
　　
　　（二） 四年级学生算术优势正在弱化
　　
　　四年级学生在变化与关系、数量这两个内容领域素养比较欠缺， 特别是5级水平以下学生在变化与关系、数量这两个内容领域上的表现不理想。数量、变化与关系两个领域的内容大部分对应的是算术方面的知识， 算术是中国小学数学教育优势， 但是在本次测试中学生的表现并不好， 说明我国小学数学算术优势传统有所减弱。教师在今后的教学中应重视算术传统， 加强变化与关系、数量内容的教学， 提高学生变化与关系、数量内容领域的素养。
　　
　　（三） 四年级学生的数学表述、阐释素养较好
　　
　　素质教育进行多年， 学生的数学理解和表达能力有了瞩目的进步。四年级学生在表述和阐释方面的得分较高， 说明四年级学生在数学化和解释数学结果方面的能力较好；素质教育倡导学生对知识的理解和批判， 在教学过程中老师也比较注重情境引入和数学应用， 密切关注数学与现实的联系， 这对学生数学表达和阐释能力提升有很大的帮助， 我们欣喜地发现这样的教学改革带来的新气象：学生能够用数学的眼光看问题。
　　
　　（四） 四年级学生数学运用素养较弱
　　
　　“运用”过程表现不佳， 即学生在运用数学概念、方法和推理得到数学结论、解决实际问题的能力较弱。数学运用需要学生准确记住相关数学概念、步骤， 并在实际问题中找出数学关系， 最后解决数学问题， 它要求学生有相关并准确的数学知识、技能储备和一定的分析、建模能力。四年级学生数学运用能力较弱可能有以下原因：一、我们在提倡素质教育时更多强调对数学知识的理解， 数学教育“生活化”, 将数学教育的重点放在了数学与生活的联系， 弱化了数学知识的记忆和数学技能的训练， 数学逻辑的培养；二、数学运用能力要求学生能够将现实问题数学化， 理解其中的数学关系， 从这意义上而言， 数学运用能力要有良好的数学表达能力和数学阐释能力作为基础， 是高于表达和阐释的一种能力， 因此得分相对于其他两种能力低。学生的数学运用能力还有待提高， 即注重培养学生将真实情境中的问题数学化， 运用数学知识、技能去解决生活中的实际问题的能力。
　　
　　（五） 不同水平学生所擅长的知识领域不同
　　
　　低水平段学生的在概率与统计、几何与图形这两个内容领域的素养较好， 在变化与关系、数量领域的素养相对差一些。高水平段学生相对于较低一级水平的学生而言， 其优势主要在数量、变化与关系。不同水平段的学生数学素养结构不一样， 擅长的内容领域也不同， 低水平学生可注重不确定与数量、图形与几何的学习， 可较快提高成绩。中水平段学生注重数量、变化与关系的学习， 从而培养学生思维， 向高水平迈进。
　　
　　（六） 不同水平学生所擅长的能力不同
　　
　　低水平段学生在阐释方面的素养最好；3级、4级水平段的学生在阐释、表达方面的素养较好；5级、6级水平段的学生在表达方面的素养最好， 6级水平学生在运用方面表现突出。在数学教学中， 数学思考不仅仅是停留在能用数学解释客观现象的阶段， 还要让学生历经归纳类比、抽象概括、符号表示、数据处理、演绎证明、建立模型等数学过程， 从而培养学生的数学思维。数学课不仅要有“生活味”, 更要凸显“数学味”.
　　
　　（七） 四年级学生各情境领域数学素养平衡发展
　　
　　四年级学生在社会领域数学素养稍微好些， 其他三个情境领域数学素养比较平衡， 说明学生在理解不同情境中的实际问题， 将不同情境的数学问题数学化的能力不存在很大区别， 这可能与现代的信息社会有关， 学生的信息来源比较广泛、有效， 对各个社会情境都有一定的认识和理解。
　　
　　注释

　　1王蕾， 景安磊。我们从PISA学到了什么--基于PISA中国试测的研究[J].北京大学教育评论， 2013, 11 （01） .
　　2王鼎。上海中考数学测评和PISA数学测评成绩差异性研究--基于PISA2012年的测评结果[J].外国中小学教育， 2017 （06） .
　　3王蕾。PISA的教育测量技术在高考中的应用前景初探[J].清华大学教育研究， 2012, 33 （03） .
　　4李星云。论小学数学核心素养的构建--基于PISA2012的视角[J].课程·教材·教法， 2016, 36 （05） .
　　5[美]罗伯特。费尔德曼。发展心里学--人的毕生发展 （第6版） [M].苏彦捷， 邹丹， 等， 译。北京：世界图书出版公司北京公司。2013.
　　6张民选， 陆璟， 占胜利， 等。专业视野中的PISA[J].教育研究， 2011, 32 （06） .
　　7张民选， 黄华。自信·自省·自觉--PISA2012数学测试与上海数学教育特点[J].教育研究， 2016, 37 （01） .
　　8高凤萍。PISA数学素养测试对中国基础数学教育的启示[J].数学教育学报， 2015, 24 （05） .

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