摘要：数学习题功能与价值正在不断转变, 对中美小学数学教材中的习题进行比较研究具有重要意义。从习题数量、类型、开放性、综合难度出发, 对人教版和加州版四年级教材中的课后习题进行统计分析, 发现加州版教材习题数量远超人教版;两者在习题类型的分布上存在极其显著的差异, 在习题的开放性上差异则不显著;两者习题在综合难度各因素上存在显著差异, 且加州版小学数学教材习题的综合难度高于人教版。在教材编写中, 人教版教材应当考虑保证习题质量, 优化内容结构;合理增加习题难度, 关注思维能力发展;强调数学活动经验, 意蕴学习方式转型。

　　关键词：小学数学; 教材比较; 习题; 人教版, 加州版;

　　现代习题观正经历着从“Exercise for learning”到“Exercise as learning”的转向。传统意义上的数学习题往往单向度地关注学生解题过程中对知识技能的练习、巩固与测验, 习题只是为了完成学习内容而存在的固有环节。而今学界愈发认为数学习题的应然价值不仅仅局限于对所学内容的重复, 更应体现在学生在习题过程中所进一步取得的能力提升和思维发展, 可以说完成习题本身即是学习的过程。在此背景下, 对数学习题进行重新审视具有重要意义。

　　总体来说, 习题在一定程度上不仅反映了教材编写者的价值取向, 也体现了教材的整体风格特点, 对数学课堂教学实践产生了不可忽视的影响。[1]它是创造性活动的最佳载体, 也是培养学生解决问题能力, 保持好奇探究数学态度的有效工具。和初高中学段相比, 小学数学教材中的习题往往更具生命力和宽阔的改革空间, 在基础数学教育阶段扮演着不可替代的角色。透过中外小学数学教材的比较, 可以为习题价值的再辨、内容编排的革新提供国际经验。

　　一、研究设计

　　(一) 研究对象

　　本研究以中美两国具有代表性的小学数学教材中的习题为研究对象。其中中国教材选取了使用范围最广的人民教育出版社2013年出版的小学数学教材 (以下简称人教版) , 美国教材选取了加州范围内普遍采用且编写质量较高的Mc Graw-Hill出版社2008年出版的California Mathematics (以下简称加州版) 。出于典型性和可操作性考虑, 选择人教版与加州版的四年级小学数学教材中所有的课后习题与单元习题进行比较研究。

　　(二) 研究内容与方法

　　研究主要从习题数量、类型、开放性、综合难度四个维度出发, 对教材习题进行比较。通过四名研究者对习题内容独立编码、后期共同修订以确保评分结果的一致性, 利用SPSS20.0软件对编码进行统计分析。

　　1. 习题数量

　　习题数量指该数学教材中所有习题的题量, 如遇大题中包含多个小题则以一道大题计。

　　2. 习题类型

　　结合小学中不同数学板块内容, 将习题类型分为选择题、判断题、填空题、解答题、作图题、综合题六类, 其中综合题指一大题中包含两种及以上不同题型的习题。

　　3. 习题开放性

　　依据习题的开放性可将习题分为封闭和开放两类, 主要判断标准为习题的解答过程与答案是否唯一。

　　4. 习题综合难度

　　习题的综合难度水平由探究、背景、运算、推理、知识含量五个要素组成。在鲍建生[2]教授构建的初中数学课程综合难度模型基础上, 结合小学阶段的教材特征和知识结构对其进行调整, 修正后的分析框架如下:

　　表1 习题综合难度分析框架

　　在该框架下, 对每道习题不同难度要素水平进行等级赋值, 即根据水平从低到高分别赋值为1、2、3……随后统计每个难度要素下的加权平均值:

　　其中, di (i=1, 2, 3, 4, 5) 依次分别表示五个难度要素上的取值, dij为第i个难度要素的第j个水平的权重 (依水平分别取1、2、3、…) , nij则表示这组题目中属于第i个难度要素的第j个水平的题目的个数, 其总和等于该组题目的总数n。最后, 利用计算得到的五个难度要素得分来反映和比较两个版本习题之间的差异。

　　二、研究结果

　　(一) 习题的数量比较

　　表2 习题数量比较表

　　表2中的信息表明, 人教版四年级教材习题数量共549题, 加州版四年级教材则有2048题, 近乎是人教版的4倍。倘若进一步具化, 人教版每个单元约有34题, 加州版则平均有128题, 同样远远超过人教版的数量。习题数目的庞大也令加州版教材中习题栏目的设置类型更具多样性, 包括“课后检查 (Check What You Know) ”“问题解决策略 (Problem Solving Strategy) ”“现实问题的解决 (Real-World Problem Solving) ”“每章测试 (Chapter Test) ”“加州标准练习 (California Standards Practice) ”等, 而人教版教材则仅包括课后的“做一做”与“每章练习”两部分。从中可以看出, 人教版的数学习题在内容上凸显出精简凝练的特点, 加州版数学习题的内容则较为丰富繁多。

　　(二) 习题的类型比较

　　表3 习题类型比较表

　　总体上看, 不同版本教材的习题在上述六种类型中均有分布。人教版教材中填空题 (40.3%) 和解答题 (41.2%) 的数量最多, 且远超其他类型的习题。加州版教材中的解答题数量最多, 占总习题的一半 (49.9%) , 其次是填空题 (25.0%) 和选择题 (15.8%) 。显然, 两个版本习题中填空题与解答题的比例显著超过其他题型, 两种题型在人教版中占比之和超过80%, 在加州版中则接近75%。这凸显出教材习题类型的共同结构特征, 也表明了当下数学习题的呈现形式以填空和解答为主导。

　　通过卡方检验, 进一步发现中美两个版本在习题类型的分布上存在极其显著的差异:χ2 (5, N=2597) =143.81, P<0.001。在选择题的比例上, 人教版的所有习题中仅有6题, 占总量的1.1%, 远低于加州版选择题比例的15.8%, 而在解答题的比例方面人教版 (41.2%) 同样也低于加州版 (49.9%) 。加州版教材的判断题、填空题、作图题与综合题所占的百分比则不及人教版。

　　(三) 习题的开放性比较

　　表4 习题开放性比较表

　　在习题开放性方面, 人教版教材和加州版教材均展现出封闭性题目较多、开放性题目较少的现象。卡方检验的结果显示, 两者在习题开放性上并不存在显著差异:χ2 (1, N=2597) =3.30, P>0.05。人教版封闭性和开放性习题的数量分别是455题和94题, 所占的比例达到82.9%和17.1%;加州版封闭性和开放性习题的数量为1626题和422题, 所占比例达到79.4%和20.6%, 加州版仅仅在开放性题目的比例上比人教版高出3.5%。与传统教科书相比[3], 两个版本教材均为学生配置了较多的开放性习题, 此类习题大多从对知识技能解释的开放性和对问题解决方法的开放性两个角度出发设置, 这不仅能为学生提供深入理解知识点的机会, 而且也有助于发展其探索创新能力。

　　(四) 习题的综合难度比较

　　1. 习题的探究因素比较

　　图1 习题的探究因素比较图

　　由图1可知, 人教版与加州版教材中位于“理解”水平的习题数量最多, 均超过各自总量的一半;处于“识记”水平的习题数量次之;而“探究”水平的习题数量最少, 两版本均未超过10%。其次, 统计发现中美小学数学教材习题在不同探究水平上的分布差异非常显著:χ2 (2, N=2597) =10.03, P<0.01。在“识记”水平上, 人教版比加州版教材高出7.3个百分点;而加州版习题在“理解”水平上的比例则超过人教版;在“探究”水平方面, 两者则均位于5%左右。在具体习题内容中, 加州版教材往往倾向于情境条件的多样化, 材料组织灵活, 以期给学生提供知识迁移的机会与多样的思考路径。因此, 相较于人教版教材强调学生对数学事实、程序等的重复和记忆, 加州版的习题更关注于小学生对知识点的深入理解、对数学方法的领会和运用, 展现出稍高的探究难度。

　　2. 习题的背景因素比较

　　图2 习题的背景因素比较图

　　两个版本的习题在“背景”难度因素上呈现出极其显著的差异:χ2 (2, N=2597) =10.27, P<0.01) 。人教版中无实际背景的习题比加州版高7.4%;而加州版教材中拥有生活情境背景的习题比例达36.3%, 超过人教版6.2%;与“探究”因素类似的是, 在“科学背景”上, 两版教材习题的分布比例十分接近。除此之外, 随着“背景”因素水平的提升, 中美教材习题的数量均逐渐减少, 从第一水平的368题和1221题减少到第三水平的16题和48题。值得注意的是, 在加州数学教材中每章均会有“现实问题的解决 (Real-World Problem Solving) ”“科学与历史问题的解决[Problem Solving in Science (History) ]”等固定板块, 例如:

　　图3 加州版教材Real-World Problem Solving习题实例[4]

　　在真实的科学知识情境、集中的专题性探究下, 学生往往能够较大程度地置身于其中的背景, 有效实现科学元素的数学化。

　　3. 习题的运算因素比较

　　不同版本的习题在运算因素下的具体分布状况存在极其显著的差异:χ2 (3, N=2597) =41.90, P<0.001。人教版“无运算”的题量接近半数, 比例达到49.2%, 比加州版大幅高11.3%;加州版教材在“简单数值运算”和“符号运算”上的题量则均比人教版超出6%, 其中人教版涉及“符号运算”的题量仅为4题;“复杂数值运算”水平下, 不同教材习题所占比例维持在6%左右, 没有明显差别。总体来看, 与人教版相比, 加州版教材则更为注重对学生简单数值运算和符号运算能力的培养。

　　图4表明, 两个版本小学数学教材习题在运算因素上存在差异的同时呈现出类似的总体分布趋势, 即两者中“无运算”和“简单数值运算”习题的数量较多 (均超过35%) , 位于“复杂数值运算”和“符号运算”水平的习题明显偏少 (均未达到10%) , 而这也与小学阶段对学生计算能力的要求相符合。

　　4. 习题的推理因素比较

　　卡方检验结果表明, 在推理因素上两版教材的习题分布存在极其显著的差异:χ2 (2, N=2597) =35.53, P<0.001。在人教版教材中, 所占百分比最高的是“无推理”的习题 (55.9%) , 超过加州版教材14.2%;在加州版教材中, 所占比重最高的却是“简单推理”水平的习题 (54.7%) , 比人教版多出11.3%;在“复杂推理”水平上, 不同版本教材习题所占的百分比十分接近, 且均未超过5%。由此看出, 两版本教材在习题层面上对学生推理能力、思维水平的要求并不是特别高, 大部分习题不需要学生进行逻辑推演, 或是仅要求学生得到合理的猜测, 对自己的想法进行简单论证。

　　图4 习题的运算因素比较图

　　图5 习题的推理因素比较图

　　5. 习题的知识含量因素比较

　　习题的知识含量主要以该题所在课时中的知识点为参照来统计。从图6可以看出, 两个版本教材习题绝大部分只包含1个知识点, 涵盖2个知识点及以上的习题不足20%。进一步的分析结果表明, 人教版和加州版的习题在知识含量的分布上同样存在差异:χ2 (2, N=2597) =8.05, P<0.05。中美教材中涉及“3个知识点及以上”的习题寥寥无几;在有“2个知识点”的水平方面, 人教版习题的比例达到14.6%, 略高于加州版的11.1%;人教版教材仅有“1个知识点”的习题占比为83.8%, 低于加州版的88%。在人教版习题数量与篇幅受较大限制的情况下, 通过综合性较强的复合题来统整多个知识点成为了教材编写者所青睐的方式。而在美国教材中, 知识更多的以分散的形式存在于多项习题当中。

　　图6 习题的知识含量因素比较图

　　6. 习题综合难度的分析与比较

　　表5 习题的综合难度统计结果

　　通过对探究、背景、运算、推理和知识含量五大难度因素的统计分析, 进一步计算得到中美教材在不同维度上的难度系数得分。结果显示, 两个版本教材习题在不同难度因素上的得分总体位于1.13—1.80之间, 习题的综合难度并不高, 符合小学生的心理发展规律, 与该阶段数学教育的基础性特征相匹配。在人教版小学数学教材的习题中, 难度系数最高的是“探究”因素, 达到1.63, 难度系数最低的是“知识含量”因素, 仅为1.18。反观加州版的习题, 难度系数最高与最低的因素分别是“运算” (1.80) 和“知识含量” (1.13) 。当我们将人教版与加州版教材进行横向比较时, 可以发现加州版教材的习题在“探究”“背景”“运算”“推理”四个因素的难度系数上均超过了人教版, 并以“运算”维度的得分差距最大。人教版的习题则在“知识含量”层面上的难度系数稍高于加州版。借助雷达图可以更为清晰地透视两者之间的异同:一方面, 人教版与加州版的数学习题在五个因素上的难度结构较为一致;另一方面, 前者的难度圈整体位于后者的外围, 故可以认为加州版小学数学教材习题的综合难度要高于人教版。

　　三、研究启示

　　(一) 保证习题质量, 优化内容结构

　　图7 习题综合难度的雷达图

　　人教版与加州版小学数学教材在习题数量上展现出极大的区别, 该现象与其背后的教学文化差异密不可分。美国数学教科书往往在学生之间被共享与传承, 而中国学生则通常拥有属于自己的固定教材, 这也就致使教科书的内容含量与装帧定价呈现出明显差别。正是在教材篇幅的限制之下, 教科书编写者更需要保持习题内部的质量, 合理安排习题的分布结构。推动习题类型的合理配置, 适当提高选择题、综合题的所占比重, 展现多样的习题形式;设计更为丰富的开放性习题, 为学生提供积极建构和发散创造的机会等。除此之外, 参考加州版教材中的习题特色, 编写者可以在每个单元前提供少量的准备题, 用以辅助学生完成对先前知识的螺旋式回顾, 亦可供教师开展诊断性评价;同时, 加州版教材每课时与单元后均有与课程标准对应的达标练习, 关注课标要求并保持习题编制与课标一致也是人教版可以借鉴之处。

　　(二) 合理增加习题难度, 关注思维能力发展

　　欧美国家的基础数学教育往往给人以轻松学习、低水平要求的印象, 但是从教材对比的结果来看, 加州地区数学教材的难度却比中国人教版教材更高。相对来说, 中国教材可适当增加习题的综合难度, 但这并不意味着习题编制要一味地追求条件数值复杂、知识内容超前等形式化难度, 而应重点在探究、推理等发展性层面给予学生充分的思考空间。首先, 小学数学教材需要提高习题的探究性, 强调对数学知识、方法的灵活运用, 对数学现象的拓展思考。同时也要合理安排探究水平的层次性, 给予不同能力的学生更广阔地参与空间。其次, 习题中应引入更具意义的生活背景和科学背景, 紧扣学科发展、社会发展和学生发展的需要, 注重数学与其他学科、数学内部各部分之间的整合, 提高学生解决实际问题的能力。[5]最后, 从运算与推理两个角度出发, 适当增加简单数值运算、符号运算、简单推理层次习题的数量, 在习题中渗透对学生“逻辑推理”和“数学运算”等数学核心素养的培养。总而言之, 习题应当成为孕育学生良好数学思维和数学能力的重要工具。

　　(三) 强调数学活动经验, 意蕴学习方式转型

　　加州小学数学课程标准中明确指出需要培养学生将数学运用于日常生活的能力[6], 而这种实践性能力的有效提升途径是数学活动经验的组织和积累。在加州课本中可见较大比例的开放性数学活动题, 其中较为典型的是每单元出现频率高达三次的问题解决策略练习, 基于教材提示的问题解决步骤:理解 (Understand) 、计划 (Plan) 、解答 (Solve) 、检查 (Check) , 学生会在真实的生活情境或跨学科交叉的科学背景中对问题做出自己的尝试。事实上, 习题背后通常蕴含着编排者对学生学习方式与思维风格的导向, 现实活动意义较强的习题偏向于激发学生自主探索、合作交流的能力;学生对问题的思考和解决也更具活跃性, 久而久之这种学习模式也会逐渐成形并被学生内化。反观人教版教材, 习题中凸显的数学活动经验尚不充分, 难以满足该阶段儿童的发展需求;在习题中适度丰富数学活动元素, 引导学生学习方式的转变, 有利于其功能与价值的充分体现。

　　参考文献

　　[1] 王建波.三个版本初中数学教材统计习题比较研究[J].数学通报, 2014 (4) :14-18, 23.
　　[2] 鲍建生.中英两国初中数学期望课程综合难度的比较[J].全球教育展望, 2002 (9) :48-52.
　　[3] 倩.小学数学新教材与传统教材的比较研究[D].重庆:西南师范大学, 2005.
　　[4] McGraw-Hill.California Mathematics-Grade 4[M].Columbus:McGraw-Hill, 2008.
　　[5] 沈继侠.中俄数学教科书分数习题难度的比较研究---以人教版和俄罗斯ACT版为例[J].课程教学研究, 2015 (10) :77-80.
　　[6] California State Board Of Education.Mathematic Framework for California Public Schools, Kindergarten through Grade Twelve[M].Sacramento:California State Department of Education, 2015.

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