引言
 
一个诊断系统的质量和效率取决于从系统中得到的故障信息, 而故障信息来源于分布于系统中的传感器。很多关于故障诊断的研究都默认传感器事先已经合理配置。实际中, 可用的传感器数目、价格均有限, 这就限制了数据信息的分辨率。因此在实践中有必要优化传感器数目、位置。近来, 确定一个具体诊断系统的传感器最优数目及其分布已引起人们关注。
 
一、生成完备ARRs集的逐次消元法

1、ARRs 和 HSM 概念
ARRs 是从只含可观测变量的系统模型导出的约束关系, 因此可用来评估任何可观测集。与ARRs有关的一个概念是支撑集, 即与获取某ARRs 有关的组件子集。在获取ARRs 过程中,同时会形成故障特征矩阵, 它是行为 ARRs, 列为故障( 组件) 的二进制0-1 矩阵, 矩阵的列定义为故障特征向量。很明显, 获取最大故障分辨力的有效途径是测量系统中的所有变量, 但测量所有变量的部分子集也有可能获取同样的分辨力。因此求解最优传感器的问题等价于寻求传感器全集中的最小子集, 使得该情况下的分辨力与传感器全集下所得分辨力一样。这首先需要假定系统中的所有未知变量都有一个虚拟传感器, 相应地, 所得 ARRs 都是虚拟ARRs, 新形成的故障特征矩阵也成为 HSM 。
2、完备 ARRs 集的生成方法
ARRs 集的完备性非常重要, 因为只有完备的ARRs 集才能为诊断和传感器配置提供最大可用的信息。在基于模型的故障诊断中, ARRs 集的完备性直接决定系统的故障检测和隔离能力。因此下文将讨论完备ARRs 集的生成方法。上文所提及的元关系是ARRs 的特例, 就从这个概念开始来阐述生成完备ARRs 集的逐次消元法。假设ARR集中任一Rj能用一个四元组Rj =( N j , Cj , Sj , Tj )表示,N j代表分配给R j的序号,Cj代表支撑集,S j代表R j中的变量集,T j代表生成R j所用到的元关系。如果采用普通方法, 有可能从不同的ARR组合得到相同的ARRs,为避免这种冗 余, 不失一般性, 考虑两个ARRs Rj = ( Nj , Cj ,S j , Tj )和R k= ( Nk, Ck, Sk, Tk) ,如果满足(Sj , Tj ) =( Sk, Tk) , 就认为两个ARRs 相同。现规定: 在逐次消元法中, 如果新生成的ARRs与此前已经生成的ARRs集中的某一ARRs相同, 则不把该新的ARRs 往 ARRs 总集中添加。如果如下两个条件Sj∩Sk≠ 和Tj∩Tk= 同时满足, 则对于任一变量x∈Sj∩Sk,新产生的ARRs如下:R = N , Cj∪Ck, Sj∪Sk- { x } , Tj∪Tk , N是新分配的序号。如果R 与原ARRs 集中的任何元素都不相同, 则将R作为一个新的元素添加到ARRs总集中。重复上述过程, 直到条件Sj∩Sk≠ 和Tj∩Tk =不再满足。这就是生成完备ARRs集的逐次消元法。整个消元过程由几个循环构成。

二、传感器优化问题建模与求解 

一旦引入HSM的概念后就很容易对传感器优化问题建模。首先来描述传感器优化问题中的两个基本要求:( 1) 检测给定故障集F中的故障;( 2) 隔离F中的故障。问题(1) 要求对任意f ∈F, 故障集F 的故障特征向量至少有一个不全为零的列, 即至少能有一个传感器能检测到该故障。问题( 2) 要求对任两个不同的故障f1, f 2∈F , 它们所对应的故障特征向量不同。基于故障特征向量, 下面的定理把传感器优化问题归结为代数组合建模问题。定理1　假设F代表系统故障集,S代表系统传感器集, M 是与之相关的HSM, 那么故障检测和隔离问题可归结为如下两点:(1) 当且仅当M中没有全为零的列时,S能检测给定故障集F中的所有故障;(2) 当且仅当 M 中的所有列均不同时, S 能隔离给定故障集F 中的所有故障。HSM蕴含了系统中所有可能的传感器, 因此传感器优化问题可以归纳为: 考虑某一系统的HSM , 设为H, 令M= HT, 即n×m 维的矩阵M 是H的转置, 对H的每一行或对M的每一列, 分别定义传感器集S(R)和S(C)。对传感器优化问题建模如下: 选择M 所有列的子集, 使得由这些子集中的列新定义的子矩阵没有全为零的行, 且子矩阵的行互不相同, 那么相应传感器集中所含的传感器数目最小。下面通过公式进一步描述上述问题。考虑二进制向量x= ( x1, x 2,  , xm) , 其维数与矩阵M 列数相同, 如果xj= 1 代表当且仅当第j 列选中, 那么 x 可以理解为是对M列子集的选择。设E= ( 1, 1, ,1)T是合适维数的全1 向量, 则条件Mx≥E 表示x所选择的解向量所构成的子矩阵没有全为零的行。对另一个条件, 定义一个n(n-1)/ 2行m列的矩阵M2, M2 的每一行Rij对应着M 的两行Ri和Rj, 定义Ri, j = Ri Rj ,表示异或运算, 那么条件M2x≥E表示x所选择的解向量所构成的子矩阵没有相同的行。考虑矩阵M=MM2, 那么传感器优化问题可以用式(8) 来表达min ∪mi= 1S(xi)s. t . 　Mx ≥ E, 　x j = 0 或 1( 8)　　式(8) 表示在故障集 F 中所有故障均可被检测、隔离的约束下, 求取最小数目的传感器集合。这里, 如果解中的某一维xi=1,则表示M的第i列被选中, 相应地S(xi) 表示与 M 的第 i 列相关的传感器集; 如果x i= 0,那么S(xi)表示空集。如果任两列对应的某一个或几个传感器相同, 则相同的传感器只算一次, 不重复计算, 对所有被选中的列所对应的传感器取并集, 得到传感器总数。考虑如式(9) 的0-1 整数规划问题min∑mi= 1cxs. t . 　Mx ≥ E, xj= 0 或 1( 9)式中, c= [ c1, c2,  , ci,  , cm] , ci 表示 ARRs 集中第 i 行所含传感器的个数。则式(8) 中的优化问题可以用式( 9) 近似。求解该0-1 整数规划问题常用方法有割平面法、分支定界法等。其中分支定界法基本思想是不断将可行域分割成小的集合, 然后在小的集合上找整数最优解, 在分割可行域时整数解并不会丢失。运用分支定界法求解式(9) 的具体过程参见文献[ 7] , 不赘述。
 
三、结束语

针对完备ARRs 集在传感器优化配置问题中的重要作用, 本文提出了一种用于产生完备ARRs集的逐次消元法。该方法以易确知的PRs为基础,通过若干次循环消元过程生成了完备ARRs 集, 同时得到了HSM。基于HSM, 把传感器优化配置问题映射为一个特殊的0-1 整数规划模型, 并用分支定界法求解该模型。应用表明, 该方法能在保证故障检测、隔离的前提下减少传感器数目, 避免了传感器盲目配置所带来的资源浪费, 消除了冗余测试,从而降低了冗余测试给后续诊断带来的干扰和困难, 增强了故障诊断中传感器配置的针对性。

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